[Exercice 2.1]

Considérons un ménage dont les préférences sont décrites une fonction d'utilité linéaire : $u(c, l) = \alpha c - \beta l$, où $c$ est le montant de sa consommation, dont le prix est $p$, $l$ le nombre d'heures travaillées, $\alpha$ et $\beta$ étant des paramètres positifs. On suppose également que le ménage reçoit un niveau de salaire nominal $w$ et que le temps disponible dans la journée est $l_0$.

Écrire la contrainte budgétaire (C.B.).
Tracer graphiquement l'ensemble des contraintes : $c \geq 0$, $l_0 \geq 0$, et C.B.
Trouver une condition en fonction de $(\alpha, \beta)$ pour que $(c^\star, l^\star)$, l'argument du maximum de la fonction d'utilité, soit dans l'espace des contraintes.
Résoudre graphiquement le problème linéaire.

La contrainte budgétaire s'écrit :

\[ p c = w l \;\;\;\;\;\text{ou encore}\;\;\;\;\;\; c= \left(\frac{w}{p}\right) l \]

De toute évidence, c'est une fonction linéaire croissante dans la mesure où tous les termes qui la composent sont positifs. Puisque le temps disponible est $l_0$, on a la représentation suivante :

En ce qui concerne la fonction d'utilité, ses courbes d'indifférence s'écrivent explicitement comme :

\[ u(c, l) = \alpha c - \beta l\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\, c= \overline{u}+\beta l$ \]

$\beta$ est la pente de cette fonction. Comme $\beta$ est positive, la pente est croissante. De ce fait soit $\beta\not= (w/p)$ et la tengeance entre le domaine des contraintes et la courbe d'indifférence maximale se situe à l'intersection de la contrainte budégétaire et de la contrainte temporelle, c'est-à-dire en

\[ c^\star = \left(\frac{w}{p}\right)l_0 \]

Soit $\beta\not= (w/p)$ ou $\beta = \infty$ et il y a une infinité de solutions. On a la représentation finale suivante :

Tout ceci montre que la décision du consommateur peut relever d'un programme linéaire.

Exercice 2.7 : Maximiser une utilité linéaire (travail-loisir)

Énoncé