Soient $x_1$ la quantité de baril de Brent utilisée et $x_2$ la quantité du pétrole brut de l'autre origine.
D'une part, le tableau présente des contraintes de production maximale journalière du raffineur. Il doit en effet produire au maximum $24000$ unités de gasoil, $2000$ unités de kérosène et $6000$ unités de fioul.
La contrainte sur la quantité maximale de gasoil peut donc s'écrire:
$\large 0.8 x_1 + 0.44 x_2 \leq 24000$
De même, on obtient les contraintes sur les quantités maximales de kérozène et de fioul:
$\large \begin{array}{c}
0.05 x_1 + 0.1 x_2 \leq 2000 \\
0.1 x_1 + 0.36 x_2 \leq 6000
\end{array}$
D'autre part, le raffineur doit maximiser son profit. On nous indique qu'un baril du premier pétrole coûte $79.12$ € et qu'un baril du second coûte $74.84$ €. De plus, afin de pouvoir produire du gasoil, du kérosène et du fioul, une opération de raffinage est nécessaire. Cette opération s'élève à $4.9$ € par baril pour le Brent et à $11$ € par baril pour le second pétrole brut.
Le coût total que doit payer le raffineur s'élève donc à :
$79.12 x_1 + 74.84 x_2 + 4.9 x_1 + 11 x_2, \text{ ce qui revient à : } 84.02 x_1 + 85.84 x_2$
Enfin, le tableau nous renseigne également sur le prix de chaque baril de gasoil, de kérosène et de fioul. En effet, un baril de pétrole coûte $214.65$ €, un baril de kérosène coûte $124$ € et un baril de fioul coûte $143.1$ €. D'où:
De même pour le kérozène et le fioul, on obtient les chiffres d'affaires suivants:
$124 (0.05 x_1+0.1 x_2), \text{ ce qui revient à } 6.2 x_1+12.4 x_2$
et
$143.1 (0.1 x_2 + 0.36 x_2), \text{ ce qui revient à } 14.31x_1 + 51.516 x_2$
- Le chiffre d'affaire total du raffineur est donc :
$171.72 x_1 + 94.446 x_2+ 6.2 x_1 + 12.4 x_2 + 14.31 x_1 + 51.516 x_2,, \text{ ce qui revient à } 192.23 x_1 + 158.362 x_2$
$\pi = (192.23 x_1 + 158.362 x_2) - (84.02 x_1 + 85.84 x_2), \text{ ce qui revient à } 19108.21 x_1 + 72.522 x_2$
- Le programme que doit résoudre le raffineur pour maximiser son profit est donc
$\begin{array}{c}
\max 108.21 x_1 + 72.522 x_2\\
\text{sous les contraintes}\\
0.8 x_1 + 0.44 x_2 \leq24000\\
0.05 x_1 + 0.1 x_2 \leq 2000\\
0.1 x_1 + 0.36 x_2 \leq 6000\\
0 \leq x_1\\
0 \leq x_2
\end{array}
$
Le programme peut être codé directement sous forme normale:
Ce programme a la représentation graphique suivante (on note dans la cartouche que les nombres décimaux sont remplacés par leur équivalent rationnels) :
Sa résolution est obtenue par les commandes suivantes:
