[Exercice 3.1-16 : Les pilules vitaminées]

Une pilule vitaminée doit être produite en utilisant deux ingrédients $I_1$ et $I_2$. Cette pilule doit satisfaire à certaines conditions sur la contenance en vitamines $A$ et $B$ : elle doit contenir au moins 5 mg de vitamine $A$ et au plus $14$. En ce qui concerne la vitamine $B$, elle doit contenir au moins $6$ mg et au plus 13. Chaque gramme de $I_1$ contient 2.5 mg de vitamine $A$ et $1$ de vitamine $B$ alors qu'en ce qui concerne $I_2$, les quantités sont $3$ mg de $A$ et 5 de $B$. L'entreprise veut fabriquer une pilule de poids minimal. Quelle quantité de $I_1$ et de $I_2$ doit-elle mélanger ?

On commence par mettre en forme ce problème.

elle doit contenir au moins 5 mg de vitamine $A$. En d'autres termes :
$ 2.5 I_1 + 3 I_2\geq 5$
elle doit contenir au plus 14 mg de vitamine $A$. En d'autres termes :
$ 2.5 I_1 + 3 I_2\leq 14$
elle doit contenir au moins 6 mg de vitamine $A$. En d'autres termes :
$I_1 + 5 I_2\geq 6$
elle doit contenir au plus 13 mg de vitamine $A$. En d'autres termes :
$I_1 + 5 I_2\leq 13$

En ce qui concerne l'objectif, on a :

$z= I_1 + I_2$

Le problème s'écrit donc :

On peut donner une représentation de ce problème, mais elle n'est pas très claire :

En observant la forme standard, on réalise que le programme ne peut être directement résolu par l'algorithme du simplex. On va le résoudre par la méthode du gros $M$. Malencontreusement, si InteractiveLPProblem() sait résoudre un tel programme, il ne permet pas de le développer étape par étape.

Exercice 3.1-16 : Les pilules vitaminées

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