Cette méthode dont le nom vérifie la loi d'éponymie de Stigler, puisque sa première référence est donnée au chapitre huit Tableaux Rectangulaires (Fangcheng) du livre Neufs Chapitres sur l'Art des Mathématiques, livres chinois qui aurait été écrit en 150, mais dont la première édition qui nous soit parvenue date de 179. En Europe, on doit la méthode à Isaac Newton.
Soit à résoudre un système du type $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}= \boldsymbol{b}$, c'est-à -dire :
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots\\ b_{n} \end{bmatrix} \]$m$ et $n$ ne sont pas nécessairement égaux. La méthode de Gauss-Jordan permet en effectuant 3 types d'opérations élémentaires sur les lignes de la matrice de trouver une solution, de montrer qu'il n'y en a pas ou qu'il en existe une infinité. Il s'agit de transformer la matrice $\boldsymbol{A}$ en matrice triangulaire supérieure en appliquant aussi les mêmes transformations sur $\boldsymbol{b}$ et de résoudre par récurrence le système d'équations qu'elle commande. Les trois types d'opérations sont :
L'idée est de réussir à transformer la matrice de droite en une matrice triangulaire supérieure, c'est-à-dire une matrice telle que tous les éléments situés sous la principale diagonale deviennent nuls, toute opération appliquée sur $\boldsymbol{A}$ devant aussi être appliquée sur $\boldsymbol{b}$. Finalement, à l'arrivée, on doit avoir :
\[ \begin{bmatrix} 1 & \overline{a}_{12} & \cdots & \overline{a}_{1m}^k\\ 0 & 1 & \cdots & \overline{a}_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline{b}_{1}\\ \overline{b}_{2} \\ \vdots\\ \overline{b}_{n} \end{bmatrix} \]De la sorte, on a directement $x_n = \overline{b}_n$ et comme $\overline{a}_{(n-1)(m-1)}x_{n-1} +\overline{a}_{(n)(m-1)} x_{n} = \overline{b}_{(n-1)}$ et par substitution, on obtient :
\[ x_{n-1} = \frac{\overline{b}_{(n-1)}}{\overline{a}_{(n-1)(m-1)}} - \frac{\overline{a}_{(n)(m-1)} \overline{b}_{n} }{\overline{a}_{(n-1)(m-1)}} \]Ainsi de suite, en réitérant la substitution arrière, on finit par trouver le vecteur des $x_i$ qui résout le systèmes d'équations. Comme ces trois opérations doivent être menées simultanément sur $\boldsymbol{A}$ et $\boldsymbol{b}$ et que les variables $\boldsymbol{x}$ ne sont pas affectées, on écrit un tableau augmenté $\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} | \boldsymbol{b}\end{bmatrix}$ de la forme
\[ \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}& b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}& b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}& b_{n} \end{array} \right] \](la barre de séparation entre $\boldsymbol{A}$ et $\boldsymbol{b}$ étant facultative) et c'est sur ce tableau qu'on applique les opérations. Considérons le système
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 7\\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 4 \end{bmatrix} \]l'on transforme en
\[ \begin{array}{cc} L_1 & \\ L_2 &\\ L_3 & \end{array} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 7 & 1\\ 1 & 2 & -3 & 4 \end{array}\right] \]Éliminons $a_{21} = 2$ par l'opération $L_2\ - 2\ L_1$, ce qui donne :
\[ \begin{array}{cc} L_1 & \\ L_2 &\\ L_3 & \end{array} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0& 1 & 3 & -5\\ 1 & 2 & -3 & 4 \end{array}\right] \]Puis, éliminons $a_{31}=1$ par l'opération $L_3 - L_1$ :
\[ \begin{array}{cc} L_1 & \\ L_2 &\\ L_3 & \end{array} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0& 1 & 3 & -5\\ 0 & 1 & -5 & 1 \end{array}\right] \]Pour finir, on peut éliminer $a_{32}=1$ par l'opération $L_3 - L_2$, ce qui donne
\[ \begin{array}{cc} L_1 & \\ L_2 &\\ L_3 & \end{array} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0& 1 & 3 & -5\\ 0 & 0 & -8 & 6 \end{array}\right] \]En opérant ainsi, on est passé d'un système $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ à un système $\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$. On a alors :
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & - 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ -5\\ 6\end{bmatrix} \]Ainsi, on a $x_3 = -3/4$. En substituant ce résultat dans $x_2 - 3 x_3 = - 5$, ce qui donne $x_2 = -5+9/4 = -11/4$ et $x_1+x_2 + 2 x_3 = 3$ et $x_1 = 12/4 +11/4+ 6/4 = 29/4$. Il est possible de vérifier directement que ce résultat est le bon en substituant $x_1$, $x_2$ et $x_3$ dans la seconde équation du système initial, c'est-à-dire :
\[ 2 x_1 + 3 x_2 + 7 x_3 = 1 \hspace{.25cm}\Longrightarrow \hspace{.25cm} 2 \left(\frac{29}{4}\right) + 3 \left(-\frac{11}{4}\right)+ 7 \left(-\frac{3}{4}\right) =\left(\frac{58}{4}-\frac{54}{4}\right) = 1 \]Bien entendu, si le système est irréalisable, il y aura une incohérence dans les équations qui aboutira, par exemple, à nous forcer à résoudre une équation du type $x_3 = \alpha \not= 0$. Ce point sera abordé à la section suivante.
Il est facile de demander à $\texttt{SageMath}$ de faire tourner la méthode de Gauss sur une matrice. Dans une discution du forum $\texttt{Ask SageMath}$ (pour avoir accès à ce forum et/ou poser une question, il suffit de passer par une barre de recherche), le code qui suit a été proposé. Comme, ce code est utilisé uniquement pour des raisons pédagogiques, on ne s'intéresse qu'à des matrices de rationnels.
$\texttt{Code}$
Les cellules qui se suivent avec un cli (pour i = 1,2,...) identique sont liées et doivent être calculées dans l'ordre. Pour éviter que le serveur ne se déconnecte, il est conseillé des les lancer assez rapidement les unes après les autres.
$\texttt{Réduction Gaussienne}$
La matrice qui est utilisée dans la cellule qui suit peut être modifiée.
Le calculs précédents ont une portée essentiellement pédagogique. $\texttt{SageMath}$ offre une commande qui fait directement le travail.
4.13
Résoudre avec la méthode de Gauss, les systèmes de la forme $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ pour :
4.14
Déterminer la valeur de chaque élément pour trouver le nombre qui remplace le point d'interrogation (inspiré de \citet{Galland17}\sindex[aut]{Galland R.}).
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