Il s'agit comme son nom l'indique d'un développement de la méthode de Gauss. Soit toujours à  résoudre un système du type $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}= \boldsymbol{b}$, c'est-à -dire :

$m$ et $n$ ne sont pas nécessairement égaux. La méthode de Gauss-Jordan permet en effectuant 3 types d'opérations élémentaires sur les lignes de la matrice de trouver une solution, de montrer qu'il n'y en a pas ou qu'il en existe une infinité. Contrairement à  la méthode de Gauss, on recherche à  diagonaliser $\boldsymbol{A}$. Les trois types d'opérations sont encore:

1. Permuter des lignes ;
2. Ajouter à  une ligne, un multiple scalaire d'une autre ligne ;
3. Multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Considérons l'exemple précédent :

que l'on transforme en

La première étape consiste à  trouver un pivot, c'est-à-dire une entrée de la matrice de gauche telle que l'on désire que tous les éléments qui sont dans la même colonne puissent être rendus nuls par une opération de type (Cette étape sera réalisée autant de fois qu'il y a de colonnes. Il est évident que le nombre d'étapes nécessaire à  la complétion d'une élimination de Gauss-Jordan est fini.}. Cette étape doit être réalisée en gardant à  l'esprit les règles suivantes :

1. toujours commencer par la colonne qui possède le plus de zéros.
2. N'utiliser une colonne (une ligne) qu'une seule fois et si possible utiliser un pivot situé sur la principale diagonale.
3. Ne jamais pivoter sur un zéro ni sur un élément de droite du tableau.

En général, on choisit une entrée égale à  l'unité (ici, $a_{11}= 1$). On réalise l'opération suivante : $\ L_2 - 2 L_1$. On obtient donc :

Puis, on effectue de $L_3 - L_1$

On recherche maintenant le pivot dans la seconde colonne ($a_{22} = 1$). On opère $L_1 - L_2$

$L_3 - L_2$, i.e. :

On n'a plus de $1$ dans la troisième colonne, mais on peut en réintroduire un en effectuant l'opération $-L_3/8$

On peut alors réaliser l'opération : $L_1 - L_3$

Alors, on réalise l'opération $L_2 - 3 L_3$, soit :

Finalement, on a transformé le système d'équations

ce qui montre que la solution est $\boldsymbol{x}^\top = \begin{bmatrix} 29/4 & -11/4 & -3/4 \end{bmatrix} $.

Considérons maintenant le système suivant :

que l'on transforme en

Répétons les étapes de l'algorithme de Gauss-Jordan, mais cette fois en regroupant le plus grand nombre d'opérations possible. La première étape permet de prendre un pivot sur la première ligne ($-L_1$) soit :

Puis, en une unique étape, on réalise les opérations suivantes : $L_2 - L_1$, $L_3 - 2L_1$, $L_4 - 12\ L_1$ et $L_5 - 3\ L_1$, ce qui donne :

On trouve le pivot de la seconde colonne par $-L_2$, i.e. :

On élimine la seconde colonne par la suite d'opérations suivante : $L_1 + 7 L_2$, $L_3 - 3L_2$, $L_4-72 L_2$ et $L_5 - 2 L_2$, ce qui donne :

Pour obtenir le pivot de la troisième colonne, on commence par l'opération $L_4/88$, pour obtenir :

On élimine la troisième colonne par la suite d'opérations suivante : $L_1 - 156 L_3$, $L_2 + 21L_3$, $L_4-1630 L_3$ et $L_5 - 88 L_2$, ce qui donne

On s'aperçoit alors que le système est inconsistant puisque la ligne $L_4$ signifie que :

est rigoureusement impossible. Ce système n'a donc pas de solution. Considérons pour terminer cette suite d'exemples, le système suivant :

que l'on transforme en :

On sélectionne le pivot par la première opération ($L_1/2$), ce qui donne

puis on réalise $L_2 + 6 L_1$ pour obtenir

$L_2$ est parfaitement compatible ($0 = 0$) et laisse une seule équation :

équation qui peut être vérifiée par une infinité de couples $(x_1, x_2)$.

La même méthode peut servir aussi à  inverser une matrice (si tant est qu'elle soit inversible). Cette fois, on applique la méthode à  partir du tableau \[ \left[\begin{array}{cccc|cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}& 1 & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}& 0 & 1 & \cdots& 0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots& \vdots& \vdots& \ddots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}& 0& 0& \cdots & 1 \end{array} \right] \]

Considérons la matrice \[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

On part du tableau

On construit le pivot de la première colonne avec $L_1/2$ et celui de la seconde avec $L_2/2$ ce qui donne

Si on applique $L_3 - 3 L_1$, on obtient

On applique $-L_3/2$

Pour finir, on soustrait $L_3$ à  $L_1$ (on calcule $L_1-L_3$) : \[ \begin{array}{cc} L_1 & \\ L_2 &\\ L_3 \end{array} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/4 & 0 & 1/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3/4 & 0 & -1/2 \end{array}\right] \]

Il est alors élémentaire de vérifier que la matrice

est bien la matrice inverse de la matrice initiale puisque :

Il existe une commande dans $\texttt{SageMath}$ qui permet d'obtenir la solution d'un système matriciel par l'élimination de Gauss-Jordan (on notera la manière alternative simple dont on définit une matrice : on définit une liste puis on donne le nombre de liste et de colonnes et, éventuellement, l'anneau dans lequel les calculs seront effectués).

On notera que l'on peut obtenir le même résultat avec la commande $\mathtt{M.echelon\_form('row\_reduction')}$.

La commande a donc permis de résoudre le système d'équations linéaires suivant : \[ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 1/2&2/3&3&4&5 \\ 1&2/7&3/5&4&5 \\ 6&2&3/5&4&5/11 \\ 6/5&1/9&1&2/13&5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2/3\\ 5/3\\ 3/7\\ 4\\ 7 \end{bmatrix} \]

Pour obtenir la solution :

$\texttt{SageMath}$ offre une autre méthode, plus directe, pour obtenir la solution d'un système d'équations linéaires.

Les vrais flemmards peuvent aussi remplacer $\mathtt{A.solve\_right(b)}$ par $\mathtt{A\backslash b}$.

On notera qu'il existe d'autres façons de résoudre un système d'équations linéaires. Celà provient du fait que $\texttt{SageMath}$ est un compendium de logiciels qui ont leurs propres solveurs. Les personnes intéressées peuvent consulter la page Linear algebra.

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